POLIDROS+REGULARES

POLIEDROS

Denominación de los poliedros Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo [|tetraedro] (4-caras), [|pentaedro] (5), [|hexaedro] (6), heptaedro (7), ... [|icosaedro] (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc. Frecuentemente un poliedro se cualifica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales se les denomina **poliedro regular**. Por ejemplo, el [|dodecaedro regular] o dodecaedro pentagonal frente al [|dodecaedro rómbico]. Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el [|cubo truncado], que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y en este caso no es regular ya que de sus caras, seis tienen forma de [|octógono] regular y ocho de triángulo equilátero.

Criterios de clasificación de los poliedros Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen: Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.
 * [|Convexos], como el [|cubo], o el [|tetraedro], cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son [|poliedros cóncavos], como es el caso del [|toroide facetado] y los [|sólidos de karim].
 * [|Poliedro de caras regulares], cuando todas las caras del poliedro son [|polígonos regulares].
 * [|Poliedro de caras uniformes], cuando todas las caras son iguales.
 * Se dice [|poliedro de aristas uniformes] cuando los pares de caras que se reúnen en cada arista son iguales.
 * Se dice [|poliedro de vértices uniformes] cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.
 * Se dice [|poliedro regular o regular y uniforme], como el [|tetraedro] o el [|icosaedro], cuando es de [|caras regulares], de [|caras uniformes] de [|vértices uniformes] y de [|aristas uniformes].





FAMILIAS DE POLIEDROS

Poliedros regulares Se dice que un **poliedro regular ** es aquel que tiene caras y ángulos iguales, por ejemplo un **[|cubo]** o **hexaedro** (seis caras). El cubo posee seis [|polígonos] con lados iguales con la misma longitud, éstos a su vez se unen en [|vértice] con ángulos de 90º grados. También eran conocidos antiguamente y son conocidos aún, como [|Sólidos platónicos].

Sólidos platónicos Los **[|sólidos platónicos]** o **sólidos de Platón** son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el [|tetraedro], el [|cubo], el [|octaedro], el [|dodecaedro] y el [|icosaedro]. El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los [|sólidos de Arquímedes] y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.

Poliedros irregulares Se dice que es un poliedro irregular aquel que tiene caras y ángulos desiguales, por ejemplo un cono. El cono posee un triángulo, polígono regular y una circunferencia, polígono irregular.

Sólidos arquimedianos Los **[|sólidos arquimedianos]** o **sólidos de Arquímedes** son [|poliedros convexos] [|de caras regulares] y [|vértices uniformes], pero no [|de caras uniformes]. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los [|sólidos platónicos]; son once: el [|Tetraedro truncado], el [|Cuboctaedro], el [|Cubo truncado], el [|Octaedro truncado], el [|Rombicuboctaedro], el [|Cuboctaedro truncado], el [|Icosidodecaedro], el [|Dodecaedro truncado], el [|Icosaedro truncado], el [|Rombicosidodecaedro] y el [|Icosidodecaedro truncado].

Prismas y antiprismas Los **[|prismas]** y los **[|antiprismas]** son los únicos poliedros [|convexos] y [|uniformes] restantes. Todos ellos fueron estudiados por [|Kepler], quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos. Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices, que le dan el nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos [|triángulos] y tres [|paralelogramos]; tiene nueve aristas y seis vértices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el [|Prisma decagonal], que se compone de dos [|decágonos] + diez [|paralelogramos]; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3. Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así, el antiprisma cuadrado se compone de dos [|cuadrados] y ocho [|triángulos]; tiene ocho vértices y 16 aristas. media type="youtube" key="Af6n9DTcoQQ?version=3" height="360" width="640"

Tabla comparativa las caras || Triángulos Equiláteros || Cuadrados || Triángulos Equiláteros || Pentágonos Regulares || Triángulos Equiláteros || en cada vértice || 3 || 3 || 4 || 3 || 5 || en cada cara || 3 || 4 || 3 || 5 || 3 ||
 * ~ Sólidos Platónicos || [|Tetraedro] || [|Hexaedro], [|Cubo] || [|Octaedro] || [|Dodecaedro] || [|Icosaedro] ||
 * ^  || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Tetrahedron.jpg/100px-Tetrahedron.jpg width="100" height="94" caption="Tetrahedron.jpg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tetrahedron.jpg"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Hexahedron.jpg/100px-Hexahedron.jpg width="100" height="111" caption="Hexahedron.jpg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hexahedron.jpg"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Octahedron.jpg/100px-Octahedron.jpg width="100" height="100" caption="Octahedron.jpg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Octahedron.jpg"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Dodecahedron.jpg/100px-Dodecahedron.jpg width="100" height="98" caption="Dodecahedron.jpg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Dodecahedron.jpg"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedron.jpg/100px-Icosahedron.jpg width="100" height="97" caption="Icosahedron.jpg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Icosahedron.jpg"]] ||
 * Número de [|caras] || 4 || 6 || 8 || 12 || 20 ||
 * Polígonos que forman
 * Número de [|aristas] || 6 || 12 || 12 || 30 || 30 ||
 * Número de [|vértices] || 4 || 8 || 6 || 20 || 12 ||
 * Caras concurrentes
 * Vértices contenidos
 * [|Grupo de simetría] || Tetraédrico (//T////d//) || Hexaédrico (//H////h//) || Octaédrico (//O////h//) || Icosaédrico (//L////h//) || Icosaédrico (//L////h//) ||
 * [|Poliedro conjugado] || [|Tetraedro] (autoconjugado) || [|Octaedro] || [|Hexaedro], [|Cubo] || [|Icosaedro] || [|Dodecaedro] ||
 * [|Símbolo de Schläfli] || {3,3} || {4,3} || {3,4} || {5,3} || {3,5} ||
 * Símbolo de Wythoff || 3 | 2 3 || 3 | 2 4 || 4 | 2 3 || 3 | 2 5 || 5 | 2 3 ||
 * [|Ángulo diedro] || 70.53° = arccos(1/3) || 90° || 109.47° = arccos(-1/3) || 116.56° || 138.189685° ||
 * Radio externo || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/6/c/7/6c7904916c9aa2b8dbce956d168296a3.png caption=" R= frac{ sqrt{6} }{4} cdot a"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/1/3/2/132b4e838ffd7ef08917d20bb11b052a.png caption=" R= frac{ sqrt{3} }{2} cdot a"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/b/e/3/be332fa3f17d57514f3d4cfed1b2a633.png caption=" R= frac{ sqrt{2} }{2} cdot a"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/1/8/a/18af9274a79b96b064d6a8e3d8b79533.png caption="r_u=frac{sqrt{6}}{4} sqrt{3 +sqrt{5}} cdot a"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/a/3/d/a3dc6597c170476a7b1ff4dd9fd95ae7.png caption="r_u=frac{a}{4} sqrt{10 +2sqrt{5}} "]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/3/0/a/30a83899d43b156384be84db854210fd.png caption=" approx "]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/1/4/c/14ccedef554174f3f996b681dc2007c6.png caption=" 0.612 cdot a"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/5/8/7/587b3764131bb04c9bd77b5b5b5508a7.png caption=" 0.866 cdot a"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/3/0/d/30d71e8be42eb1e27f2ddf7c58e2a091.png caption=" 0.707 cdot a"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/1/b/d/1bdda85f30b5aab166ede6dc943d883c.png caption="1.401258538 cdot a "]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/5/6/7/56743c55183c31235d0ffddb96e8169e.png caption="0.9510565163 cdot a "]] ||
 * Radio interno || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/7/3/4/734663b52cd6ea97d68a53c38991322c.png caption=" r= frac{ sqrt{6} }{12} cdot a"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/2/3/0/230a2b3a6057069f9e6b5c32561c9fd7.png caption=" r= frac{ {a} } {2} "]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/4/7/f/47f7ca8913e741d75a6d1c641a23c11d.png caption="r_i={a} sqrt{ frac{2}{3} }"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/e/e/8/ee88935ba258adbd3de39b0a831d7310.png caption="r_i=frac{a}{4} sqrt{ frac{50+22sqrt{5}}{5} }"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/5/9/1/591a84255a6c56d7613ff4f8c35269f6.png caption="r_i=frac{a}{12} sqrt{3} left(3+ sqrt{5} right)"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/3/0/a/30a83899d43b156384be84db854210fd.png caption=" approx "]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/1/4/8/1480f56fa82d0f243c806e28b351b13c.png caption=" 0.204 cdot a"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/d/d/2/dd2867b0126943d0f0e314f1f74c315b.png caption=" 0.5 cdot a"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/c/3/1/c31e569f2296e1a0ccedddf163606eee.png caption=" 0.816 cdot a "]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/a/0/5/a0559afc5467cc19a246c0991575d115.png caption="1.113516364 cdot a "]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/d/3/5/d35af4f03c703b15eb98847791ef7b4b.png caption="0.7557613141cdot a "]] ||