el+teorema+de+pitagoras

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto **b**, más lo que mide el cateto **c**, es decir **b+c**, como en la figura de la derecha. El área de este cuadrado será **(b+c)2**. Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): más el área del cuadrado amarillo. Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo: Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:
 * // El teorema de Pitágoras //**En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
 * Un **//triángulo rectángulo//** es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
 * En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de **//hipotenusa//** y los otros dos lados se llaman **//catetos//**.
 * Teorema de Pitágoras.- // En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. //**
 * Demostración: **

si ahora desarrollamos el binomio, nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:




 * || **TEOREMA DE PITÁGORAS** || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/imagenes/paginic.jpg width="105" height="35" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/index.htm"]] ||

**a2 + b2 = c2** || Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos? (Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan)
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag01.gif width="189" height="98" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag01.htm"]] |||| ** En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. **
 * Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente: ||
 * ** El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. ** || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag02.gif width="186" height="220" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag01.htm"]] ||
 * Teorema de Pitágoras generalizado**
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag11.gif width="121" height="150" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/Pitag11.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag12.gif width="114" height="174" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag12.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag13.gif width="150" height="136" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag13.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag14.gif width="153" height="168" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag14.htm"]] ||

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas. **DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS** **A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad** **a2 + b2 = c2** || || ** Elementos de Euclides. Proposición I.47. ** ** En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. ** Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha. La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color. || || A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras en forma de puzzles. En todos ellos, las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa. 1.- Los siguientes disecciones son válidas para cualquier triángulo rectángulo. Se han ordenado de menos a mayor número de piezas que lo forman.
 * DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS**
 * PITÁGORAS.**
 * Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras.
 * PLATÓN.**
 * La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos. || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag16.gif width="204" height="207" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag16.htm"]] ||
 * EUCLIDES.**
 * La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.
 * BHÂSKARA**
 * ¡ Mira ! || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag18.gif width="214" height="270" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag18.htm"]] ||
 * PUZZLES PITAGÓRICOS.**

2.- Los puzzles siguientes sólo son validos en el caso de que el triángulo rectángulo inicial sea el que se indica. 3.- Finalmente, dos puzzles especialmente interesantes. No solo prueban el teorema de Pitágoras, también el del cateto. Son validos para triángulos rectángulos con los ángulos (excluido el recto) en el intervalo que se indica en cada caso. Para ampliar el intervalo de validez, hay que aumentar el número de piezas, y no puede generalizarse con un número finito. Ángulos A y B mayor o igual que 30 y menor o igual que 60. 30 ≤ A ≤ 60; || 45 ≤ A ≤ 60; por tanto 30 ≤ B ≤ 45 || **DEMOSTRACIONES ALGEBRAICAS.** Valiéndose de la construcción que se representa en cada caso, se han dado a lo largo de la historia excelentes y originales demostraciones, no tan visuales como las anteriores, pero si tanto o más elegantes. Estás son algunas de las mas populares.
 * **1. Ozanam** || **2.- Perigal** || 3.- ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag21.gif width="209" height="272" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag21.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag22.gif width="222" height="276" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag22.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag23.gif width="234" height="269" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag23.htm"]] ||
 * **4. Anaricio** || **5. Bhâskara** || 6.- ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag24.gif width="222" height="270" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag24.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag18a.gif width="214" height="272" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag18a.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag25.gif width="229" height="269" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag25.htm"]] ||
 * 7.- || 8.- ||  ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag26.gif width="234" height="265" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag26.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag27.gif width="207" height="274" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag27.htm"]] ||  ||
 * Triangulo Rectángulo Isósceles ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag31.gif width="244" height="245" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag31.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag32.gif width="245" height="247" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag32.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag32a.gif width="232" height="272"]] ||
 * Triangulo rectángulo 3,4,5 |||| Cateto mayor / cateto menor = 2 ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag34.gif width="240" height="262" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag34.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag33.gif width="221" height="269" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag33.htm"]] ||  ||
 * Hipotenusa /cateto menor =3 || Hipotenusa/cateto menor = 2 ||  ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag35.gif width="203" height="271" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag35.htm"]] ||  ||   ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag36.gif width="246" height="259" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag36.htm"]]
 * Estas dos disecciones muestran gráficamente las demostraciones de Euclides y de Pappus. Con la limitación que se ha expresado anteriormente. ||
 * Pappus |||| Ibn Qurra ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag41.gif width="171" height="215" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag41.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag42.gif width="184" height="176" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag42.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag43.gif width="231" height="184" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag42.htm"]] ||
 * Leonardo de Vinci || Garfield || Vieta ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag44.gif width="157" height="233" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag44.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag45.gif width="232" height="149" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag45.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag46.gif width="179" height="185" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag46.htm"]] ||

Otras demostraciones algebraicas.
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag47.gif width="256" height="136" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/Pitag47.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag49.gif width="263" height="134" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag49.htm"]] ||  ||

Se ha dejado para el final una prueba (posiblemente desarrollada por el propio Pitágoras), que no precisa de figuras auxiliares. Es suficiente con un triángulo rectángulo.
 * || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag50.gif width="287" height="151" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag50.htm"]] ||  ||

Algunos autores, hablan de la existencia de hasta mil demostraciones diferentes del Teorema de Pitágoras. En 1927, E. S. Loomis publica //The Pitagoream Proposition// donde aparecen 367 pruebas.

PÁGINAS SOBRE EL TEOREMA DE PITÁGORAS. @http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm La Gacetilla Matemática dedica un amplio espacio a este teorema. @http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/pitagoras/pitagoras.htm del departamento de matemáticas del IES Maria Moliner, Valladolid. Con Animaciones en Flash muy interesantes. @http://almez.pntic.mec.es/~jdec0000/geometria_dinamica_del_triangulo/teorema_de_pitagoras.htm con applet Descartes. @http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html @http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Teorema_de_Pitagoras/Pitagoras.htm Con applet Descartes. @http://www.ctv.es/USERS/pacoga/bella/htm/pitagora.htm de la excelente página Bella Geometría. @http://www.personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/Pit.pdf amplio e interesante documento.

Los sellos postales también rinden homenaje a Pitágoras y al teorema:


 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitagsello11.jpg width="129" height="177" align="right"]] |||||| [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitagsello12.jpg width="141" height="181"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitagsello13.jpg width="163" height="182" align="left"]] ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitagsello14.jpg width="250" height="181" align="right"]] ||  |||| [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitagsello15.jpg width="262" height="179" align="left"]] ||

Alguna de las demostraciones y datos expuestos se han tomado de : -GONZALEZ URBANEJA, Pedro M., Pitágoras el filósofo del número. La Matemática en sus personajes, 9. Ed. Nivola. Madrid 2001. []

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